Question

16．已知a＞0，函数f（x）=$\frac{1}{3}$a²x³-ax²+$\frac{2}{3}$，判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，根据x所在的区间，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调性．

解答 解：f′（x）=ax（ax-2），
（1）当x∈[0，1]时，x≥0，∴ax≥0，
①当0＜a＜2时，ax-2＜0，
此时：ax（ax-2）＜0，从而f′（x）＜0，
∴函数f（x）在[0，1}上单调递减，
②当a≥2时，ax-2≥0，
∴ax（ax-2）≥0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，1]递增；
（2）当x∈[-1，0]时，x≤0，
∴ax≤0，ax-2≤-2，
∴ax（ax-2）≥0，
∴f′（x）≥0，
∴f（x）在[-1，0]单调递增．

点评 本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．