Question

8．已知l为抛物线y²=2px（p＞0）的准线，AB为过焦点F的弦，M为AB中点，过M作直线L的垂线，垂足为N交抛物线于点P，求证：P点平分MN．

Answer 1

分析 设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），可得AB连线方程，求出MN的中点，证明在抛物线上，即可证明结论．

解答 证明：设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），则AB连线方程为y=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$x+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
（$\frac{p}{2}$，0）代入可得p²+y₁y₂=0，∴p²=-y₁y₂，
MN的中点为（$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-2{p}^{2}}{8p}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
∴2p•$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-2{p}^{2}}{8p}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+2{y}_{1}{y}_{2}}{4}$=（$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）²，
∴MN中点在抛物线上，即P所以P平分MN．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．