Question

13．已知$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，A（1，3）在双曲线右支上有一点P，求|PA|+|PF₁|的最小值．（F₁为其左焦点）

Answer 1

分析 依题意，可求得F₁（-4，0），F₂（4，0），P在双曲线的右支上，利用双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=4，可求得|PF₁|=|PF₂|+4，从而可求得|PF₁|+|PA|的最小值．

解答 解：∵P在双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右支上，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a=4，
∴|PF₁|=|PF₂|+4，
又A（1，3），双曲线右焦点F₂（4，0），
∴|PF₁|+|PA|
=|PF₂|+4+|PA|
≥|AF₂|+4
=$\sqrt{（4-1）^{2}+（0-3）^{2}}$+4
=4+3$\sqrt{2}$（当且仅当A、P、F₂三点共线时取“=”）．
则|PA|+|PF₁|的最小值为4+3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，利用双曲线的定义将|PF₁|转化为|PF₂|+4是关键，考查转化思想与应用不等式的能力，属于中档题．