Question

1．已知点A（0，2），圆O：x²+y²=1．
（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；
（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AP}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知中直线过点A我们可以设出直线的点斜式方程，然后化为一般式方程，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线的方程；
（2）设出P点的坐标，借助坐标来表示两个向量的数量积，再根据P在圆上的条件，进而得到结论．

解答 （本小题满分10分）
解：（ I）由题意，所求直线的斜率存在．
设切线方程为y=kx+2，即kx-y+2=0，-------------（1分）
所以圆心O到直线的距离为$d=\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，-------------（3分）
所以$d=\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=±\sqrt{3}$，-------------（4分）
所求直线方程为$y=\sqrt{3}x+2$或$y=-\sqrt{3}x+2$．-------------（5分）
（ II）设点P（x，y），
所以 $\overrightarrow{OP}=（x，y）$，$\overrightarrow{AP}=（x，y-2）$，-------------（6分）
所以 $\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AP}={x^2}+{y^2}-2y$．-------------（7分）
因为点P在圆上，所以x²+y²=1，所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AP}=1-2y$．-------------（8分）
又因为x²+y²=1，所以-1≤y≤1，-------------（9分）
所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AP}∈[-1，3]$．-------------（10分）

点评 本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系是关键，还考查了向量数量积的坐标表示．