Question

16．已知函数f（x）=2x³-6x-m，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在R上只有一个零点，求常数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出其单调区间．
（2）由题意得f（1）＞0，或f（-1）＜0，从而求出m的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2x³-6x-m，
∴f′（x）=6x²-6=6（x²-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）递增，在（-1，1）递减；
（2）由（1）得：函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）递增，在（-1，1）递减，
∴f（x）_极大值=f（-1），f（x）_极小值=f（1），
若函数f（x）在R上只有一个零点，
画出函数的草图，如图示：
，或
，
只需f（-1）=-2+6-m＜0，或f（1）=2-6-m＞0解得：m＞4或m＜-4．

点评 本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道中档题．