Question

1．已知m为实数，且m≠-$\frac{9}{2}$，数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=$\frac{4}{3}{a_n}+\frac{1}{2}×{3^n}$+m
（Ⅰ）求证：数列{a_n-3ⁿ⁺¹}为等比数列，并求出公比q；
（Ⅱ）若a_n≤15对任意正整数n成立，求证：当m取到最小整数时，对于n≥4，n∈N，都有$\frac{1}{S_4}+…+\frac{1}{S_n}＞-\frac{8}{135}$．

Answer 1

分析 （I）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{4}{3}{a}_{n}$-$\frac{4}{3}{a}_{n-1}$+3^n-1，变形为${a}_{n}-{3}^{n+1}=4（{a}_{n-1}-{3}^{n}）$，又a₁=-3m-$\frac{9}{2}$，${a}_{1}-9=-3m-\frac{27}{2}$≠0，即可证明；
（II）由（I）可得：a_n-3ⁿ⁺¹=$（-3m-\frac{27}{2}）$×4^n-1，化为a_n=3ⁿ⁺¹-$（3m+\frac{27}{2}）×{4}^{n-1}$，由a_n≤15，可得$3m+\frac{27}{2}$≥$\frac{{3}^{n+1}-15}{{4}^{n-1}}$，令b_n=$\frac{{3}^{n+1}-15}{{4}^{n-1}}$，通过b_n+1-b_n=$\frac{3（15-{3}^{n}）}{{4}^{n}}$，可得b₁＜b₂＜b₃＞b₄＞b₅，于是$3m+\frac{27}{2}≥（{b}_{n}）_{max}$=b₃=$\frac{33}{8}$，可得m取到最小整数为-3，此时a_n=${3}^{n+1}-\frac{9}{8}$，S_n=$\frac{3}{2}（{3}^{n+1}-{4}^{n}-2）$，当n≥4时，3ⁿ⁺¹-4ⁿ=＜0，则S_n＜0，当n≥5时，S_n-4S_n-1＜0，因此S_n＜4S_n-1，$则\frac{1}{{S}_{n}}＞\frac{1}{4{S}_{n-1}}$，通过递推可得$\frac{1}{{S}_{4}}+\frac{1}{{S}_{5}}+…+\frac{1}{{S}_{n}}$＞$\frac{1}{{S}_{4}}+\frac{1}{4}\frac{1}{{S}_{4}}$+$（\frac{1}{4}）^{2}•\frac{1}{{S}_{4}}$+…+$（\frac{1}{4}）^{n-4}•\frac{1}{{S}_{4}}$，即可证明．

解答 （I）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{4}{3}{a_n}+\frac{1}{2}×{3^n}$+m-$（\frac{4}{3}{a}_{n-1}+\frac{1}{2}×{3}^{n-1}+m）$=$\frac{4}{3}{a}_{n}$-$\frac{4}{3}{a}_{n-1}$+3^n-1，
化为${a}_{n}=4{a}_{n-1}-{3}^{n}$，
变形为${a}_{n}-{3}^{n+1}=4（{a}_{n-1}-{3}^{n}）$，
又a₁=-3m-$\frac{9}{2}$，${a}_{1}-9=-3m-\frac{27}{2}$≠0，
∴数列{a_n-3ⁿ⁺¹}为等比数列，公比q=4；
（II）证明：由（I）可得：a_n-3ⁿ⁺¹=$（-3m-\frac{27}{2}）$×4^n-1，
化为a_n=3ⁿ⁺¹-$（3m+\frac{27}{2}）×{4}^{n-1}$，
由a_n≤15，可得$3m+\frac{27}{2}$≥$\frac{{3}^{n+1}-15}{{4}^{n-1}}$，
令b_n=$\frac{{3}^{n+1}-15}{{4}^{n-1}}$，则b_n+1-b_n=$\frac{{3}^{n+2}-15}{{4}^{n}}$-$\frac{{3}^{n+1}-15}{{4}^{n-1}}$=$\frac{3（15-{3}^{n}）}{{4}^{n}}$，
∴b₁＜b₂＜b₃＞b₄＞b₅…，
∴$3m+\frac{27}{2}≥（{b}_{n}）_{max}$=b₃=$\frac{33}{8}$，解得$m≥-\frac{25}{8}$．
∴m取到最小整数为-3，此时a_n=${3}^{n+1}-\frac{9}{8}$，S_n=$\frac{3}{2}（{3}^{n+1}-{4}^{n}-2）$，
当n≥4时，3ⁿ⁺¹-4ⁿ=3•4ⁿ$[（\frac{3}{4}）^{n}-\frac{1}{3}]$≤$3•{4}^{n}[（\frac{3}{4}）^{4}-\frac{1}{3}]$=$\frac{-13}{256}•{4}^{n}$＜0，
则S_n＜0，
当n≥5时，S_n-4S_n-1=$\frac{3}{2}（{3}^{n+1}-{4}^{n}-2）$-$\frac{3}{2}×4×（{3}^{n}-{4}^{n-1}-2）=\frac{3}{2}（6-{3}^{n}）$≤$\frac{3}{2}（6-{3}^{5}）$＜0，
∴S_n＜4S_n-1，$则\frac{1}{{S}_{n}}＞\frac{1}{4{S}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}＞\frac{1}{4}•\frac{1}{{S}_{n-1}}$$＞（\frac{1}{4}）^{4}•\frac{1}{{S}_{4}}$＞…＞$（\frac{1}{4}）^{n-1}•\frac{1}{{S}_{4}}$，
∴$\frac{1}{{S}_{4}}+\frac{1}{{S}_{5}}+…+\frac{1}{{S}_{n}}$
＞$\frac{1}{{S}_{4}}+\frac{1}{4}\frac{1}{{S}_{4}}$+$（\frac{1}{4}）^{2}•\frac{1}{{S}_{4}}$+…+$（\frac{1}{4}）^{n-4}•\frac{1}{{S}_{4}}$
=-$\frac{2}{45}[1+\frac{1}{4}+（\frac{1}{4}）^{2}+…+（\frac{1}{4}）^{n-4}]$
=-$\frac{2}{45}•\frac{1-（\frac{1}{4}）^{n-3}}{1-\frac{1}{4}}$＞$-\frac{8}{135}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．