Question

10．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{3}$）的最小正周期是π，若其图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）（　　）

• A． 关于点（$\frac{π}{12}$，0）对称
• B． 关于点（$\frac{5π}{12}$，0）对称
• C． 关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称
• D． 关于直线x=$\frac{π}{12}$对称

Answer 1

分析 根据条件求出函数的解析式，结合三角函数的对称性进行求解即可．

解答 解：若f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{3}$）的最小正周期是π，
则T=$\frac{2π}{ω}=π$，解得ω=2，
即f（x）=sin（2x+φ），
若其图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后得到y=sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+φ]=sin（2x+φ-$\frac{2π}{3}$），
若此时函数为奇函数，
则φ-$\frac{2π}{3}$=kπ，k∈Z，
解得φ=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
∵|φ|≤$\frac{π}{3}$，
∴当k=-1时，φ=-$\frac{π}{3}$，
即f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$，
得x=$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，
故当k=0时，函数的对称轴为x=$\frac{5π}{12}$，
故函数关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称，
故选：C．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数性质的应用，求出函数的解析式是解决本题的关键．