Question

2．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位数？可以组成多少个没有重复数字的正整数？
（2）由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的比1300大的正整数？

Answer 1

分析 （1）对于第一问，将1，2，3，4，5进行全排列，由排列数公式计算即可得答案；对于第二问，分5种情况讨论：①、由5个数字组成的一位数，②、由5个数字组成的两位数，③、由5个数字组成的三位数，④、由5个数字组成的四位数，⑤、由5个数字组成的五位数，分别求出每种情况下五位数的数目，由分类加法原理计算可得答案；
（2）根据题意，分2种情况讨论：①、首位数字是2、3或4时，②、首位数字是1时，第二位数字必须为3或4；分别求出每种情况下五位数的数目，由分类加法原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，将1，2，3，4，5进行全排列，有A₅⁵=120种情况，即可以组成120个没有重复数字的五位数；
要求由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的正整数，可以分5种情况讨论：
①、由5个数字组成的一位数，有5种情况，
②、由5个数字组成的两位数，有A₅²=20种情况，
③、由5个数字组成的三位数，有A₅³=60种情况，
④、由5个数字组成的四位数，有A₅⁴=120种情况，
⑤、由5个数字组成的五位数，有A₅⁵=120种情况，
则一共有5+20+60+120+120=325个没有重复数字的正整数；
（2）根据题意，分2种情况讨论：
①、首位数字是2、3或4时，组成的4位数都比1300大，此时有3×A₃³=18种情况，
②、首位数字是1时，第二位数字必须为3或4，此时有2×A₂²=4种情况，
一共有18+4=22种情况，即可以组成22个比1300大的正整数．

点评 本题考查排列、组合的运用，注意解题时要根据题意，结合分类、分步计数原理进行分析．