Question

6．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={$\overrightarrow{a}$|$\overrightarrow{a}$=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称“序”的关系，记为“＞＞”．定义如下：对于任意两个向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），“$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$”当且仅当“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．按上述定义的关系“＞＞”，给出如下四个命题：
①若$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），$\overrightarrow{0}$=（0，0），则$\overrightarrow{{e}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞＞$\overrightarrow{0}$；  
②若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$，则$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$；
③若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，则对于任意$\overrightarrow{a}$∈D，$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$； 
④对于任意向量$\overline{a}$＞＞$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{0}$=（0，0），若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，则$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{a}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$•$\overrightarrow{a}$．
其中正确命题的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据题目中“＞＞”关系的定义，抓住判断的关键“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”，判断4个命题是否成立，从而得到本题结论．

解答 解：由定义：对于任意两个向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（x₂，y₂），“$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$”当且仅当“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．
可知：
①当$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），$\overrightarrow{0}$=（0，0）时，
y₁=0，y₂=1，0＜1，
∴y₁＜y₂，
不符合条件，故$\overrightarrow{{e}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{e}_{2}}$不成立，
命题①不正确； 
②若$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$时，
x₁≥x₂，y₁＞y₂，x₂≥x₃，y₂＞y₃，
∴x₁≥x₃，y₁＞y₃．
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{3}}$，
∴命题②正确；
③设$\overrightarrow{{a}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{{a}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}）$，$\overrightarrow{a}=（x，y）$，
∵$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，
∴x₁≥x₂，y₁＞y₂，
∴x₁+x≥x₂+x，y₁+y＞y₂+y，
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$，
∴命题③正确；
④设$\overrightarrow{{a}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{{a}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}）$，$\overrightarrow{a}=（x，y）$，
∵$\overline{a}$＞＞$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{0}$=（0，0），
∴x≥0，y＞0．
∵$\overrightarrow{{a}_{1}}$＞＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$，
∴x₁≥x₂，y₁＞y₂，
∴x₁x≥x₂x，y₁y＞y₂y．
∴x₁x+y₁y＞x₂x+y₂y，
∵$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{a}$=x₁x+y₁y，
$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{a}$=x₂x+y₂y，
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{a}$＞$\overrightarrow{{a}_{2}}$•$\overrightarrow{a}$．
∴命题④正确．
故正确的命题有：②③④．共3个．
故选：C．

点评 本题考查新定义的应用和基本不等关系，本题有一定的新颖性，计算难度不大，属于基础题．