Question

18．函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围为（-∞，2-$\frac{1}{e}$）∪（2-$\frac{1}{e}$，2）．

Answer 1

分析 函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线?方程f′（x）=$\frac{1}{x}$+a在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x-y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．

解答 解：函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$+a（x＞0）．
∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，
∴方程$\frac{1}{x}$+a=2在区间x∈（0，+∞）上有解．
即a=2-$\frac{1}{x}$在区间x∈（0，+∞）上有解．
∴a＜2．
若直线2x-y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x₀，2x₀）．
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{x}_{0}}+a=2}\\{2{x}_{0}=ln{x}_{0}+a{x}_{0}}\end{array}\right.$，解得x₀=e．
此时a=2-$\frac{1}{e}$．
综上可知：实数a的取值范围是（-∞，2-$\frac{1}{e}$）∪（2-$\frac{1}{e}$，2）．
故答案为：（-∞，2-$\frac{1}{e}$）∪（2-$\frac{1}{e}$，2）．

点评 本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、相互平行的直线之间的斜率关系、存在性问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于中档题．