Question

3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，CA=1，点P是△ABC内一点，过点P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形（图中阴影部分）．
（1）当点P为△ABC的重心（三边中线交点）时，以P为顶点的三个三角形面积之和为$\frac{1}{6}$；
（2）当点P在△ABC内运动时，以P为顶点的三个三角形面积和的最小值为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）由点P为△ABC的重心求出P的坐标，并得到△PDE，△PGF，△PIH为三个全等的等腰直角三角形，求出其中一个三角形的面积乘以3得答案；
（2）设过点P且平行于直线AB的直线GE的方程为x+y=a（0＜a＜1），再设出P（m，a-m），把线段长度用含有a和m的代数式表示，写出三个三角形的面积和，然后利用配方法求面积的最小值．

解答 解：如图，以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则C（0，0），A（1，0），B（0，1），
（1）∵点P为△ABC的重心，∴P（$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$），此时△PDE，△PGF，△PIH为三个全等的等腰直角三角形，
故${S}_{△PDE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{18}$，则以P为顶点的三个三角形面积之和为$\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$；
（2）设过点P且平行于直线AB的直线GE的方程为x+y=a（0＜a＜1），
设P（m，a-m），则PF=GF=m，PD=ED=a-m，
∵直线AB的方程为y=1-x，将x=m代入可得y=1-m=DH，
故HP=DH-DP=1-a，
故以P为顶点的三个三角形面积和为$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{1}{2}（a-m）^{2}+\frac{1}{2}（1-a）^{2}$
=${m}^{2}-am+{a}^{2}-a+\frac{1}{2}$=$（m-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{3}{4}{a}^{2}-a+\frac{1}{2}≥\frac{3}{4}{a}^{2}-a+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}（a-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{1}{6}≥\frac{1}{6}$．
此时$a=\frac{2}{3}，m=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了直线的一般式方程，考查了三角形面积的求法，训练了利用配方法求函数最值，是中档题．