Question

12．已知函数f（x）=lnx-ax+$\frac{b}{x}$（a，b∈R），且对任意x＞0，都有$f（x）+f（\frac{1}{x}）=0$．
（1）求a，b的关系式；
（2）若f（x）存在两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求出a的取值范围并证明$f（\frac{a^2}{2}）＞0$；
（3）在（2）的条件下，判断y=f（x）零点的个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用赋值法，结合f（1）=0得到关于a，b的关系式，然后对恒成立进行证明；
（2）因为该函数有两个极值点，所以导函数等于零有两个异号根，在此基础上得到关于a，b的关系式，然后代入f（$\frac{{a}^{2}}{2}$），再证明函数g（a）=f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0恒成立即可；
（3）利用导数结合函数的极值点、单调性、最值等以及利用数形结合思想确定出函数零点的个数，注意分类讨论．

解答 解：（1）根据题意：令x=1，可得$f（1）+f（\frac{1}{1}）=0$，
∴f（1）=-a+b=0，
经验证，可得当a=b时，对任意x＞0，都有$f（x）+f（\frac{1}{x}）=0$，
∴b=a．
（2）由（1）可知$f（x）=lnx-ax+\frac{a}{x}$，且x＞0，∴$f'（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{a}{x^2}=\frac{{-a{x^2}+x-a}}{x^2}$，
令g（x）=-ax²+x-a，
要使f（x）存在两个极值点x₁，x₂，则须有y=g（x）有两个不相等的正数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \frac{1}{2a}＞0\\△=1-4{a^2}＞0\\ g（0）=-a＜0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ \frac{1}{2a}＞0\\△=1-4{a^2}＞0\\ g（0）=-a＞0\end{array}\right.$，解得$0＜a＜\frac{1}{2}$或无解，
∴a的取值范围$0＜a＜\frac{1}{2}$，可得$0＜\frac{a^2}{2}＜\frac{1}{8}$，
由题意知$f（\frac{a^2}{2}）=ln\frac{a^2}{2}-\frac{a^3}{2}+\frac{2}{a}=2lna+\frac{2}{a}-\frac{a^3}{2}-ln2$，
令$h（x）=2lnx+\frac{2}{x}-\frac{x^3}{2}-ln2$，则$h'（x）=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}-\frac{{3{x^2}}}{2}=\frac{{-3{x^4}+4x-4}}{{2{x^2}}}$，
而当$x∈（0，\;\;\frac{1}{2}）$时，-3x⁴+4x-4=-3x⁴-4（1-x）＜0，即h'（x）＜0，∴h（x）在$（0，\;\;\frac{1}{2}）$上单调递减，
∴$h（x）＞h（\frac{1}{2}）=-2ln2+4-\frac{1}{16}-ln2＞\frac{63}{16}-3lne＞0$，
即$0＜a＜\frac{1}{2}$时，$f（\frac{a^2}{2}）＞0$．
（3）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{a}{x^2}=\frac{{-a{x^2}+x-a}}{x^2}$，g（x）=-ax²+x-a，
令f'（x）=0得：${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-4{a^2}}}}{2a}$，${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-4{a^2}}}}{2a}$，
由（2）知$0＜a＜\frac{1}{2}$时，y=g（x）的对称轴$x=\frac{1}{2a}∈（1，+∞）$，△=1-4a²＞0，g（0）=-a＜0，
∴x₂＞1，又x₁x₂=1，可得x₁＜1，
此时，f（x）在（0，x₁）上单调递减，（x₁，x₂）上单调递增，（x₂，+∞）上单调递减，
所以y=f（x）最多只有三个不同的零点，
又∵f（1）=0，
∴f（x）在（x₁，1）上递增，即x∈[x₁，1）时，f（x）＜0恒成立，
根据（2）可知$f（\frac{a^2}{2}）＞0$且$0＜\frac{a^2}{2}＜\frac{1}{8}$所以$\frac{a^2}{2}∉（{x_1}，1）$，即$\frac{a^2}{2}∈（0，{x_1}）$
∴$?{x_0}∈（\frac{a^2}{2}，\;\;{x_1}）$，使得f（x₀）=0，…（12分）
由0＜x₀＜x₁＜1，得$\frac{1}{x_0}＞1$，又$f（\frac{1}{x_0}）=-f（{x_0}）=0，\;\;f（1）=0$，
∴f（x）恰有三个不同的零点：${x_0}，\;\;1，\;\;\frac{1}{x_0}$．
综上所述，y=f（x）恰有三个不同的零点．

点评 本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，包括函数的极值、零点，二次方程根的分布等知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想．