Question

7．已知F₁（-c，0），F₂（c，0）是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}={c^2}$，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$
• B． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• C． $[\frac{1}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• D． $[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，可得：${y}_{0}^{2}$=${b}^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}）$．由于$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}={c^2}$，可得${x}_{0}^{2}-{c}^{2}+{y}_{0}^{2}$=c²，化为${x}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}（3{c}^{2}-{a}^{2}）$，利用$0≤{x}_{0}^{2}≤{a}^{2}$，及其离心率计算公式即可得出．

解答 解：设P（x₀，y₀），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴${y}_{0}^{2}$=${b}^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}）$．
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}={c^2}$，
∴（-c-x₀，-y₀）•（c-x₀，-y₀）=c²，
化为${x}_{0}^{2}-{c}^{2}+{y}_{0}^{2}$=c²，
∴${x}_{0}^{2}+{b}^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}）$=2c²，
化为${x}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}（3{c}^{2}-{a}^{2}）$，
∵$0≤{x}_{0}^{2}≤{a}^{2}$，
∴0≤$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}（3{c}^{2}-{a}^{2}）$≤a²，
解得$\frac{\sqrt{3}}{3}≤e≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、不等式的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．