Question

2．已知函数f（x）=|x+3|-|x-1|，若f（x）≤a²-3a（x∈R）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-1]∪[4，+∞）
• B． （-∞，-2]∪[5，+∞）
• C． [1，2]
• D． （-∞，1]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 运用绝对值不等式的性质可得f（x）=|x+3|-|x-1|≤|（x+3）-（x-1）|=4，当且仅当x≥1时，f（x）取得最大值4．再由不等式恒成立思想可得a²-3a≥4，再由二次不等式的解法即可求得．

解答 解：函数f（x）=|x+3|-|x-1|
≤|（x+3）-（x-1）|=4，
当且仅当x≥1时，f（x）取得最大值4．
若f（x）≤a²-3a（x∈R）恒成立，
则a²-3a≥4，
解得a≥4或a≤-1．
则实数a的取值范围是（-∞，-1]∪[4，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查不等式恒成立问题，主要考查绝对值不等式的性质求最值，注意不等式恒成立或有解问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．