Question

11．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅱ）设H为CD上一点，满足$\overrightarrow{CH}$=2$\overrightarrow{HD}$，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求二面角H-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过勾股定理可得BC⊥BD，利用面面垂直的判定定理即得结论；
（Ⅱ）通过题意以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面HPB的一个法向量与平面PBC的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵AD⊥CD，AB∥CD，AD=AB=1，
∴BD=$\sqrt{2}$，∴∠BDC=45°，
又BC=$\sqrt{2}$，∴CD=2，
∴CD²=BC²+BD²，即BC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，∴平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：由（I）可知∠BPC为PC与平面PBD所成的角，
∴$tan∠BPC=\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴PB=$\sqrt{3}$，PD=1，
由$\overrightarrow{CH}$=2$\overrightarrow{HD}$及CD=2，可得CH=$\frac{4}{3}$，DH=$\frac{2}{3}$，
以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，
则B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），H（0，$\frac{2}{3}$，0），
设平面HPB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{HB}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}{y}_{1}+{z}_{1}=0}\\{{x}_{1}+\frac{1}{3}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取y₁=-3，则$\overrightarrow{n}$=（1，-3，-2），
同理可得平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
又$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=-\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴二面角H-PB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查二面角，空间中面与面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．