Question

6．设函数f （x）=（x+1）lnx-a （x-1）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2-e）．
（1）求a的值；
（2）函数f （x）能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．
（3）当1＜x＜2时，试比较$\frac{2}{x-1}$与$\frac{1}{lnx}-\frac{1}{ln（2-x）}$大小．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出切线的斜率，运用两点的斜率公式，计算化简即可得到a=2；
（2）函数f （x）不能在x=1处取得极值．求出导数，讨论x＞1，0＜x＜1函数的单调性，即可得到结论；
（3）当1＜x＜2时，$\frac{2}{x-1}$＞$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$．运用函数的单调性和不等式的性质，即可得到结论．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，
依题设得 $\frac{f（e）-（2-e）}{e-0}$=f′（e），即
e+1-a（e-1）-（2-e）=e$（{1+\frac{1}{e}+1-a}）$，
解得a=2；
（2）函数f （x）不能在x=1处取得极值．
因为f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，记g（x）=ln x+$\frac{1}{x}$-1，则g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$．
①当x＞1时，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函数，
所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0；
②当0＜x＜1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）是减函数，
所以g（x）＞g（1）=0，即有f′（x）＞0．
由①②得f （x）在（0，+∞）上是增函数，
所以x=1不是函数f （x）极值点．
（3）当1＜x＜2时，$\frac{2}{x-1}$＞$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$．
证明如下：由（2）得f （x）在（1，+∞）为增函数，
所以当x＞1时，f（x）＞f （1）=0．
即（x+1）lnx＞2（x-1），所以 $\frac{1}{lnx}$＜$\frac{x+1}{2（x-1）}$．①
因为1＜x＜2，所以0＜2-x＜1，$\frac{1}{2-x}$＞1，所以$\frac{1}{ln\frac{1}{2-x}}$＜$\frac{\frac{1}{2-x}+1}{2（\frac{1}{2-x}-1）}$=$\frac{3-x}{2（x-1）}$，
即-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{3-x}{2（x-1）}$．②
①+②得 $\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{x+1}{2（x-1）}$+$\frac{3-x}{2（x-1）}$=$\frac{2}{x-1}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，同时考查不等式的大小比较，注意运用单调性和不等式的性质是解题的关键．