Question

13．已知实数a，b，c满足a+b=2c，则直线l：ax-by+c=0恒过定点（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），该直线被圆x²+y²=9所
截得弦长的取值范围为[$\sqrt{34}$，6]．

Answer 1

分析 由条件a+b=2c，直线l：ax-by+c=0，即-2ax+2by=2c，可得直线l：ax-by+c=0恒过定点，过定点（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的最长弦为圆的直径6，最短弦与此直径垂直．

解答 解：由条件a+b=2c，直线l：ax-by+c=0，即-2ax+2by=2c，
所以点（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）在直线-2ax+2by=2c上，故直线l：ax-by+c=0过定点（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
过定点（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的最长弦为圆的直径6，最短弦与此直径垂直，由于定点与圆心的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以最短弦长为2$\sqrt{9-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{34}$，
所以直线被圆x²+y²=9所截得弦长的取值范围为[$\sqrt{34}$，6]．
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），[$\sqrt{34}$，6]．

点评 本题主要考查经过定点的直线，考查直线被圆x²+y²=9所截得弦长的取值范围，属于中档题．