Question

5．已知点O为双曲线C的对称中心，过点O的两条直线l₁与l₂的夹角为60°，直线l₁与双曲线C相交于点A₁，B₁，直线l₂与双曲线C相交于点A₂，B₂，若使|A₁B₁|=|A₂B₂|成立的直线l₁与l₂有且只有一对，则双曲线C离心率的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2]
• B． [$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）
• C． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）
• D． [$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 先设出双曲线的方程，并根据题意画出图象，根据对称性和条件判断出双曲线的渐近线斜率的范围，列出不等式并转化为关于离心率的不等式，再求解即可．

解答 解：不妨设双曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），
由|A₁B₁|=|A₂B₂|及双曲线的对称性知A₁，A₂，B₁，B₂关于x轴对称，如图，
又∵满足条件的直线只有一对，
当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，
双曲线与直线才能有交点A₁，A₂，B₁，B₂，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，
且不可能存在|A₁B₁|=|A₂B₂|，
当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60°，
双曲线与直线有一对交点A₁，A₂，B₁，B₂，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，
但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，
∴tan30°＜$\frac{b}{a}$≤tan60°，则$\frac{\sqrt{3}}{3}＜\frac{b}{a}≤\sqrt{3}$，即$\frac{1}{3}＜\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}≤3$，
∵b²=c²-a²，∴$\frac{1}{3}＜\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}≤3$，则$\frac{1}{3}＜{e}^{2}-1≤3$，
解得$\frac{4}{3}＜{e}^{2}≤4$，即$\frac{2\sqrt{3}}{3}＜e≤2$，
∴双曲线离心率的范围是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}，2$]，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质以及应用，考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题．