Question

20．已知函数f（x）=x³-3x
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-m在[-$\frac{3}{2}$，3]上有三个零点，求实数m的取值范围；
（3）设函数h（x）=e^x-ex+4n²-2n（e为自然对数的底数），如果对任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（x₁）≤h（x₂）恒成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接求导数，然后解不等式可得原函数的增减区间；
（2）利用数形结合，将问题转化为函数y=f（x）与y=m的交点问题，只需利用导数研究函数y=f（x）的极值、最值即可；
（3）因为h（x）与f（x）是两个不同的函数，所以该不等式恒成立只需f（x）_max≤h（x）_min即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为R，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
因为当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0；当-1＜x＜1时，f′（x）＜0；
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．
（2）要使函数g（x）=f（x）-m在[$-\frac{3}{2}$，3]上有三个零点，就是要方程f（x）-m=0在[$-\frac{3}{2}$，3]上有三个实根，也就是只要函数y=f（x）和函数y=m的图象在[-$\frac{3}{2}$，3]上有三个不同的交点．
由（1）知，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减；
所以f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=-2．
又f（$-\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{8}$，f（3）=18．
故实数m的取值范围为$[\frac{9}{8}，2）$．
（3）对任意的${x}_{1}，{x}_{2}∈[\frac{1}{2}，2]$，都有f（x₁）≤h（x₂）恒成立，等价于当$x∈[\frac{1}{2}，2]$时，f（x）_max≤h（x）_min成立．
由（1）知，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且$f（-\frac{1}{2}）=-\frac{11}{8}，f（2）=2$，f（2）=2，所以f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值f（x）_max=2．
又h′（x）=e^x-e，令h′（x）=0，得x=1．
因为当x＜1时，h′（x）＜0；当x＞1时，h′（x）＞0；所以h（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；故h（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值h（x）_min=h（1）=4n²-2n．
所以4n²-2n≥2，解得$n≤-\frac{1}{2}$或n≥1，故实数n的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数单调性、极值和最值的方法，不等式恒成立问题的解题思路，属于常规题目．