Question

10．若等差数列{a_n}满足a₁²+a₃²=2，则a₃+a₄+a₅的最大值为（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $3\sqrt{5}$

Answer 1

分析 把已知等式用a₄和公差d表示，化为关于d的一元二次方程后由判别式大于等于求得a₄的最大值，结合等差数列的性质得答案．

解答 解：由a₁²+a₃²=2，得
$（{a}_{4}-3d）^{2}+（{a}_{4}-d）^{2}=2$，
化为：$5{d}^{2}-4{a}_{4}d+{{a}_{4}}^{2}-1=0$，
由判别式△≥0，得：16${{a}_{4}}^{2}$-20（${{a}_{4}}^{2}$-1）≥0，
即${{a}_{4}}^{2}≤5$，
-$\sqrt{5}$≤${a}_{4}≤\sqrt{5}$，
∴a₃+a₄+a₅的最大值为$3{a}_{4}=3\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的性质，训练了利用二次方程的判别式求最值，是中档题．