Question

5．已知函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x-1．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=1，f（A）=$\frac{1}{2}$，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式将函数f（x）进行化简，结合函数的单调性即可求函数f（x）的单调增区间；
（2）利用三角函数的恒等变换，求出A的值，利用三角形的面积公式进行结合三角函数的最值性质进行求解即可．

解答 解：函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x-1=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+cos2x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x+\frac{π}{6}）$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
∴函数的单调增区间：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）∵$f（x）=\frac{1}{2}$，∴$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}，又0＜A＜\frac{π}{6}$，
∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，
∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}，故A=\frac{π}{3}$
在△ABC中，
∵$a=1A=\frac{π}{3}∴1={b^2}+{c^2}-bc≥bc即{S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
当且仅当b=c时，△ABC的面积取到最大值$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数单调性的应用以及三角函数的恒等变换，考查学生的运算能力．