Question

17．某校高一年级有四个班，其中一、二班为数学课改班，三、四班为数学非课改班．在期末考试中，课改班与非课改班的数学成绩优秀与非优秀人数统计如表．

	优秀	非优秀	总计
课改班		50
非课改班	20		110
合计			210

（1）请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与课改有关”；
（2）把全部210人进行编号，从编号中有放回抽取4次，每次抽取1个，记被抽取的4人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）确定2×2列联表，计算K²，与临界值比较，即可得出结论；
（2）随机变量ξ的所有取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，可得ξ的分布列及数学期望Eξ．

解答 解：（1）

	优秀	非优秀	总计
课改班	50	50	100
非课改班	20	90	110
合计	70	140	210

（2分）
K²=$\frac{210×（50×90-20×50）^{2}}{100×110×70×140}$=23.86＞6.635，（5分）
所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与课改有关．（6分）
（2）随机变量ξ的所有取值为0，1，2，3，4．（7分）
由于是有放回的抽取，所以可知每次抽取中抽到优秀的概率为$\frac{70}{210}$=$\frac{1}{3}$，（8分）
P（ξ=0）=C₄⁰（$\frac{1}{3}$）⁰（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{16}{81}$；P（ξ=1）=C₄¹（$\frac{1}{3}$）¹（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{32}{81}$；
P（ξ=2）=C₄²（$\frac{1}{3}$）²（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{8}{27}$；P（ξ=3）=C₄³（$\frac{1}{3}$）³（$\frac{2}{3}$）¹=$\frac{8}{81}$；
P（ξ=4）=C₄⁴（$\frac{1}{3}$）⁴（$\frac{2}{3}$）⁰=$\frac{1}{81}$．
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

（10分）
Eξ=0×$\frac{16}{81}$+1×$\frac{32}{81}$+2×$\frac{8}{27}$+3×$\frac{8}{81}$+4×$\frac{1}{81}$=$\frac{4}{3}$．（12分）

点评 本题考查了独立性检验、分布列及其数学期望，正确计算是关键，属于中档题．