Question

8．已知函数f（x）=$\frac{2}{{e}^{x}+1}$+sinx（e为自然对数的底），则函数y=f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上的大致图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 求得函数的导数y′的解析式，再利用基本不等式求得在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上，y′＞0，可得函数y在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上单调递增，结合所给的选项，得出结论．

解答 解：由函数f（x）=$\frac{2}{{e}^{x}+1}$+sinx（e为自然对数的底），x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
 可得y′=$\frac{0{-2e}^{x}}{{{（e}^{x}+1）}^{2}}$+cosx≥$\frac{0{-2e}^{x}}{{{（e}^{x}+1）}^{2}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{{-2e}^{x}+\frac{1}{2}{（e}^{2x}+{2e}^{x}+1）}{{{（e}^{x}+1）}^{2}}$≥$\frac{-{2e}^{x}+\frac{1}{2}•{4e}^{x}}{{{（e}^{x}+1）}^{2}}$=0，
而上述式子中的两个等号不能同时成立，故有y′＞0，故函数y在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上单调递增，
故选：A．

点评 本题主要考查导数公式，利用导数研究函数的单调性，基本不等式的应用，函数的图象特征，属于中档题．