Question

20．设S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，a₂=3，S_k+2+S_k-2S_k+1=2对任意正整数k成立，则a_n=2n-1，S_n=n²．

Answer 1

分析 由数列递推式得到数列数列{a_n}为以2为公差的等差数列，然后直接由等差数列的通项公式和前n项和公式得答案．

解答 解：由S_k+2+S_k-2S_k+1=2，得
（S_k+2-S_k+1）-（S_k+1-S_k）=2，
即a_k+2-a_k+1=2，
∵k∈N^*，∴从第二项起，数列{a_n}为以2为公差的等差数列，
又a₁=1，a₂=3，a₂-a₁=3-1=2也成立，
∴数列{a_n}为以2为公差的等差数列，
则a_n=1+2（n-1）=2n-1，
${S}_{n}=n+\frac{n（n-1）×2}{2}={n}^{2}$．
故答案为：2n-1，n²．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是中档题．