Question

15．若$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤\frac{π}{2}}\\{sinx≤y≤cosx}\end{array}\right.$，则z=x+2y的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{π}{6}$]
• B． [0，$\sqrt{3}$]
• C． [0，$\sqrt{3}$-$\frac{π}{6}$]
• D． [0，$\sqrt{3}$+$\frac{π}{6}$]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合导数求出切线斜率，即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，平移直线y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，由图象可知当直线经过点O时，
直线y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$的截距最小，此时z最小，z=0，
当直线y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$与y=cosx相切时，直线的截距最大，此时z最大，
函数y=cosx的导数f′（x）=-sinx，
目标函数的斜率k=$-\frac{1}{2}$，
由-sinx=$-\frac{1}{2}$得sinx=$\frac{1}{2}$，
解得x=$\frac{π}{6}$，此时y=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即切点坐标为（$\frac{π}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
此时z=$\frac{π}{6}$+2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$+$\frac{π}{6}$，
故z的取值范围是[0，$\sqrt{3}$+$\frac{π}{6}$]，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及导数的几何意义求出切点坐标是解决本题的关键．综合性较强．