Question

7．设函数$f（x）=\sqrt{|{x-2}|+|{x-a}|-2a}$若函数f（x）的定义域为R，试求实数a的最大值．

Answer 1

分析 由题意，|x-2|+|x-a|≥2a对x∈R恒成立，再令g（x）=|x-2|+|x-a|，从而转化为函数的最值问题，再分类讨论求最值即可．

解答 解：由题意，
|x-2|+|x-a|≥2a对x∈R恒成立，
设g（x）=|x-2|+|x-a|，
原命题等价于g（x）_min≥2a，
（i）当a≥2时，g（x）_min=a-2，
解a-2≥2a得，a≤-2与a＞2矛盾，不成立；
（ii）当a＜2时，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2-a，x＞2}\\{2-a，a≤x≤2}\\{-2x+a+2，x＜a}\end{array}\right.$，
g（x）_min=2-a≥2a，则$a≤\frac{2}{3}$，
∴实数a的最大值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了绝对值函数的应用及恒成立问题与最值问题，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．