Question

16．若实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+y≤a\\ y≥1\end{array}\right.$．若a=4，则z=2x+y的最大值为7；若不等式组所表示的平面区域面积为4，则a=6．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．结合不等式组的图形，根据面积即可得到结论．

解答 解：当a=4时，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（3，1），
代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=7．
即目标函数z=2x+y的最大值为7．
作出不等式组对应的平面区域，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
若不等式组构成平面区域，则必有点A在直线x+y=a的下方，
即满足不等式x+y＜a，
即a＞1+1=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=a}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（a-1，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=a}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{2}}\\{y=\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），
则三角形的面积S=$\frac{1}{2}×$（a-1-1）×（$\frac{a}{2}$-1）=$\frac{1}{4}$（a-2）²=4，
即（a-2）²=16，
即a-2=4或a-2=-4，
解得a=6或a=-2（舍），
故答案为：7，6

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．