Question

1．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知P点的极坐标为$（4\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$，曲线C的极坐标方程为ρ²+4$\sqrt{3}$ρsinθ=4．
（1）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；
（2）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-2+2t\end{array}$（t为参数）距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）首先利用关系式把极坐标转化成直角坐标，进一步把极坐标方程转化成直角坐标方程．
（2）先把直角坐标方程转化成参数方程，进一步利用点到直线的距离公式，在利用三角函数的最值求出结果．

解答 解：（1）已知P点的极坐标为$（4\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$，
所以：$x=ρcosθ=6，\;y=ρsinθ=2\sqrt{3}$，
∴点P的直角坐标为 $（6，2\sqrt{3}）$．
由${ρ^2}+4\sqrt{3}ρsinθ=4$，
得：${x^2}+{y^2}+4\sqrt{3}y=4$，
即${x^2}+{（y+2\sqrt{3}）^2}=16$
∴曲线C的普通方程为：${x^2}+{（y+2\sqrt{3}）^2}=16$．
（2）由 $l：\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-2+2t\end{array}\right.$，
可得直线l的普通方程为x-y-5=0，
由曲线C的普通方程：${x^2}+{（y+2\sqrt{3}）^2}=16$，
可设点Q$（4cosθ，4sinθ-2\sqrt{3}）$，
∴则点M坐标为（2cosθ+3，2sinθ）
∴点M到直线l的距离$d=\frac{{|{2cosθ+3-2sinθ-5}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）-2}|}}{{\sqrt{2}}}$
当$cos（θ+\frac{π}{4}）$=-1时，
d取得最大值$2+\sqrt{2}$
∴点M到直线l距离的最大值为$2+\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直角坐标方程与参数方程的互化，点到直线的距离公式的应用，三角函数的最值问题的应用．