Question

10．如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求三棱锥C-BED的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD和AC交于O，连结OF，可证OF∥BE，从而可证明BE∥平面ACF．
（Ⅱ）由AB∥CD可得点B到面CDE的距离为2，可证CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，可求S_△BDE，设求三棱锥C-BED的高为h，根据V_C-BDE=V_B-CDE即可求三棱锥C-BED的高．

解答 证明：（Ⅰ）连结BD和AC交于O，连结OF，…（1分）
∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，
∵F为DE中点，∴OF∥BE，…（3分）
∵BE?平面ACF，OF?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（4分）
（Ⅱ）AB∥CD，∴AB∥面CDE，⇒点B到面CDE的距离与点A到面CDE的距离相等，
∴点B到面CDE的距离为2，Rt△ADE中，AE=DE=2，
∴$AD=2\sqrt{2}$，BD=4，
∵$\left.{\begin{array}{l}{CD⊥AD}\\{AE⊥面CDE⇒CD⊥AE}\end{array}}\right\}⇒CD⊥面ADE∴AB⊥面ADE$，．…（8分）
∵$Rt△ABE中，AB=2\sqrt{2}，AE=2∴BE=2\sqrt{3}$，
∵$△BDE中，由余弦定理知cos∠BDE=\frac{1}{2}，sin∠BDE=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴${S_{△BDE}}=\frac{1}{2}×2×4•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=2\sqrt{3}$，…（10分）
设三棱锥C-BED的高为h，根据V_C-BDE=V_B-CDE知$h=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，棱锥的结构特征，考查了空间想象能力和推论论证能力，考查了转化思想，属于中档题．