Question

20．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆O的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}cosα}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}sinα}\end{array}\right.$和直线l的极坐标方程是ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求圆O和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先把圆的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把标准形式转化为一般式，再把直线的极坐标形式转化为直角坐标的形式．
（Ⅱ）利用两个方程建立方程组，解出交点坐标，最后把直角坐标形式转化为极坐标的形式．

解答 解：（Ⅰ）圆O的参数方程可以化为：$\left\{\begin{array}{l}x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}cosα\\ y-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}sinα\end{array}\right.$，
所以圆O的直角坐标方程是：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$．
转化为：x²+y²-x-y=0
直线l的极坐标方程可以化为：$\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$，
所以直线l的直角坐标方程为：x-y+1=0；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}-x-y=0\\ x-y+1=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}\right.$，

故直线l与圆O公共点为（0，1），该点的一个极坐标为（1，$\frac{π}{2}$）．

点评 本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，解方程组的应用，点的直角坐标和极坐标的互化，主要考查学生的应用能力．