Question

19．已知点P是半径为1的⊙O上的动点，线段AB是⊙O的直径．则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PB}$的取值范围为[-4，4]．

Answer 1

分析 以AB所在直线为x轴，圆心O为原点，建立如图所示的直角坐标系xOy．设A（-1，0），B（1，0），P（m，n），求出向量AB，PA，PB的坐标，运用向量的数量积的坐标表示和点在圆上的性质，即可得到所求范围．

解答 解：以AB所在直线为x轴，圆心O为原点，建立如图所示的直角坐标系xOy．
设A（-1，0），B（1，0），P（m，n），
则$\overrightarrow{PA}$=（m+1，n），$\overrightarrow{PB}$=（m-1，n），$\overrightarrow{AB}$=（2，0），
即有$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PB}$=2（m+1）+2（m-1）=4m，
由-1≤m≤1，可得-4≤4m≤4．
即有$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PB}$的取值范围是[-4，4]．
故答案为：[-4，4]．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，同时考查坐标法的运用和点在圆上的性质，属于中档题．