Question

12．如图，椭圆C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与抛物线C₂：x²=4y有公共的焦点F．点A为椭圆C₁与抛物线C₂准线的交点之一，过A向抛物线C₂引切线AB，切点为B，且点A，B都在y轴的右侧．
（Ⅰ）证明：FA⊥FB；
（Ⅱ）证明：直线AB是椭圆C₁的切线．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意易得焦点准线，利用导数求斜率得出a，b，x₀得关系式，再利用数量积得证．
（Ⅱ）利用判别式法计算量太大，由斜率相等得出恒成立条件得证．

解答 解：（Ⅰ）证明：由题意得，F（0，1），c=1，a²-b²=1，准线y=-1，$A（\frac{{b}^{2}}{a}，-1）$．
由x²=4y，得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，${y}^{′}=\frac{x}{2}$，
设点B$（{x}_{0}，\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）$，则直线AB斜率k=$\frac{{x}_{o}}{2}$=$\frac{\frac{{x}_{0}}{4}+1}{{x}_{0}-\frac{{b}^{2}}{a}}$，得$\frac{{b}^{2}}{a}=\frac{{x}_{0}}{2}-\frac{2}{{x}_{0}}$，
∵$\overrightarrow{FA}=（\frac{{b}^{2}}{a}，-2）$，$\overrightarrow{FB}=（{x}_{0}，\frac{{x}_{0}^{2}}{4}-1）$，
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=$（\frac{{x}_{0}}{2}-\frac{2}{{x}_{0}}）{x}_{0}-2（\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}-1）$=0，
∴FA⊥FB．
（Ⅱ）证明：根据抛物线的定义，点B到准线的距离等于到焦点的距离得${x}_{0}-\frac{{b}^{2}}{a}=\sqrt{\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}+4}$，所以${x}_{0}=\frac{{b}^{2}}{a}+\sqrt{\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}+4}$
由$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$y=\frac{a\sqrt{{b}^{2}-{x}^{2}}}{b}$，$y′=\frac{ax}{b\sqrt{{b}^{2}-{x}^{2}}}$，
把$x=\frac{{b}^{2}}{a}$代入y′=a，
若直线AB是椭圆C₁的切线，则有$\frac{{x}_{0}}{2}=a$恒成立，即$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}+\sqrt{\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}+4}}{2}=a$，化简得a²-b²=1．
∴直线AB是椭圆C₁的切线．

点评 熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、直线与圆锥曲线的相交问题是解题的关键．本题需要较强的计算能力，注意数形结合的思想方法应用．