Question

17．已知M=$\frac{{C}_{2015}^{0}}{1}$+$\frac{{C}_{2015}^{1}}{2}$+$\frac{{C}_{2015}^{2}}{3}$+…+$\frac{{C}_{2015}^{2014}}{2015}$+$\frac{{C}_{2015}^{2015}}{2016}$，则M=（　　）

• A． $\frac{{2}^{2016}-1}{2016}$
• B． $\frac{{2}^{2016}}{2016}$
• C． $\frac{{2}^{2015}-1}{2015}$
• D． $\frac{{2}^{2015}}{2015}$

Answer 1

分析 由二项式定理得到$（1+x）^{2015}={C}_{2015}^{0}+{C}_{2015}^{1}x$$+…+{C}_{2015}^{2015}{x}^{2015}$，两边求定积分得答案．

解答 解：由$（1+x）^{2015}={C}_{2015}^{0}+{C}_{2015}^{1}x$$+…+{C}_{2015}^{2015}{x}^{2015}$，
得：${∫}_{0}^{1}（1+x）^{2015}dx$=${∫}_{0}^{1}[{C}_{2015}^{0}+{C}_{2015}^{1}x+…+{C}_{2015}^{2015}{x}^{2015}]dx$，
∴$\frac{（1+x）^{2016}}{2016}{|}_{0}^{1}=（{C}_{2015}^{0}x+\frac{1}{2}{C}_{2015}^{1}{x}^{2}+…+\frac{1}{2016}{C}_{2015}^{2015}{x}^{2016}）{|}_{0}^{1}$，
即$\frac{{2}^{2016}-1}{2016}$=$\frac{{C}_{2015}^{0}}{1}$+$\frac{{C}_{2015}^{1}}{2}$+$\frac{{C}_{2015}^{2}}{3}$+…+$\frac{{C}_{2015}^{2014}}{2015}$+$\frac{{C}_{2015}^{2015}}{2016}$，
∴M=$\frac{{C}_{2015}^{0}}{1}$+$\frac{{C}_{2015}^{1}}{2}$+$\frac{{C}_{2015}^{2}}{3}$+…+$\frac{{C}_{2015}^{2014}}{2015}$+$\frac{{C}_{2015}^{2015}}{2016}$=$\frac{{2}^{2016}-1}{2016}$，
故选：A．

点评 本题考查了数列的求和，考查了数学转化思想方法，关键是二项式定理和定积分的应用，是中档题．