Question

2．已知直线（1-m）x+（3m+1）y-4=0所过定点恰好落在函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lo{g}_{a}x，0＜x≤3\\|x-4|，x＞3\end{array}\right.$的图象上．
（1）f（$\frac{1}{3}$）=-1
（2）若函数h（x）=f（x）-mx+2有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 （1）运用直线系方程，可得定点为（3，1），再由分段函数可得a=3，可得分段函数式，再由对数的运算性质可得所求值；
（2）函数h（x）=f（x）-mx+2有三个不同的零点，即为f（x）-mx+2=0有三个不同的实根，可令y=f（x），y=g（x）=mx-2，分别画出y=f（x）和y=g（x）的图象，通过图象观察，结合斜率公式，即可得到m的范围．

解答 解：（1）直线（1-m）x+（3m+1）y-4=0
即为（x+y-4）-m（x+3y）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-3y=0}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即定点为（3，1），
由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}x，0＜x≤3}\\{|x-4|，x＞3}\end{array}\right.$，
可得log_a3=1，解得a=3，
则有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x，0＜x≤3}\\{|x-4|，x＞3}\end{array}\right.$，
f（$\frac{1}{3}$）=log₃$\frac{1}{3}$=-1；
（2）函数h（x）=f（x）-mx+2有三个不同的零点，
即为f（x）-mx+2=0有三个不同的实根，
可令y=f（x），y=g（x）=mx-2，
分别画出y=f（x）和y=g（x）的图象，
A（0，-2），B（3，1），C（4，0），
则g（x）的图象介于直线AB和AC之间，
介于k_AB＜m＜k_AC，
可得$\frac{1}{2}$＜m＜1．
故答案为：-1，（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查分段函数的图象和运用，主要考查函数的零点和方程的关系，注意运用数形结合和斜率公式是解题的关键．