Question

12．某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为$f（x）=|{\frac{x}{{{x^2}+1}}-a}|+2a+\frac{3}{4}$，x∈[0，24），其中a是与气象有关的参数，且$a∈[{0\;，\;\frac{1}{2}}]$．若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=$\frac{x}{{{x^2}+1}}$，x∈[0，24），求t的取值范围；
（2）求M（a）的表达式，并规定当M（a）≤2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

Answer 1

分析 （1）利用取倒数，求导数，确定函数的单调性，可得t的取值范围；
（2）分段求出每天的综合放射性污染指数不超过2时a的范围，即可得到结论．

解答 （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（5分），第2小题满分（9分）．
解：（1）当x=0时，t=0；   …（2分）
当0＜x＜24时，因为x²+1≥2x＞0，所以$0＜\frac{x}{{{x^2}+1}}≤\frac{1}{2}$，…（4分）
即t的取值范围是$[{0\;，\;\frac{1}{2}}]$．    …（5分）
（2）当$a∈[{0\;，\;\frac{1}{2}}]$时，由（1），令$t=\frac{x}{{{x^2}+1}}$，则$t∈[{0\;，\;\frac{1}{2}}]$，…（1分）
所以$f（x）=g（t）=|t-a|+2a+\frac{3}{4}$=$\left\{\begin{array}{l}3a-t+\frac{3}{4}\;，\;0≤t≤a\;\\ t+a+\frac{3}{4}\;\;，\;\;a＜t≤\frac{1}{2}\;\end{array}\right.$…（3分）
于是，g（t）在t∈[0，a]时是关于t的减函数，在$t∈（{a\;，\;\frac{1}{2}}]$时是增函数，
因为$g（0）=3a+\frac{3}{4}$，$g（{\frac{1}{2}}）=a+\frac{5}{4}$，由$g（0）-g（{\frac{1}{2}}）=2a-\frac{1}{2}$，
所以，当$0≤a≤\frac{1}{4}$时，$M（a）=g（{\frac{1}{2}}）=a+\frac{5}{4}$；
当$\frac{1}{4}＜a≤\frac{1}{2}$时，$M（a）=g（0）=3a+\frac{3}{4}$，
即$M（a）=\left\{\begin{array}{l}a+\frac{5}{4}\;，\;0≤a≤\frac{1}{4}\;\\ 3a+\frac{3}{4}\;，\;\frac{1}{4}＜a≤\frac{1}{2}\;.\end{array}\right.$…（6分）
由M（a）≤2，解得$0≤a≤\frac{5}{12}$． …（8分）
所以，当$a∈[{0\;，\;\frac{5}{12}}]$时，综合污染指数不超标．  …（9分）

点评 本题主要考查了函数模型的选择与应用及分类讨论的思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．