Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，对任意m、p∈N^*都有a_m+p=a_m•a_p．
（1）求数列{a_n}（n∈N^*）的递推公式；
（2）数列{b_n}满足a_n=$\frac{b_1}{2+1}-\frac{b_2}{{{2^2}+1}}+\frac{b_3}{{{2^3}+1}}-+…+{（-1）^{n+1}}\frac{b_n}{{{2^n}+1}}$（n∈N^*），求通项公式b_n；
（3）设c_n=2ⁿ+λb_n，问是否存在实数λ使得数列{c_n}（n∈N^*）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）利用a_m+p=a_m•a_p成立，令m=n，p=1，得${a_{n+1}}={a_1}•{a_n}，n∈{N^*}$．即可得到数列{a_n}（n∈N^*）的递推公式．
（2）由利用（1）求出${a_n}=\frac{1}{2^n}（n∈{N^*}）$．求出a_n-a_n-1，即可求出${b_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}，（n=1）\\{（-1）^n}（\frac{1}{2^n}+1）．（n≥2，n∈{N^*}）\end{array}\right.$
（3）化简${c_n}={2^n}+λ{b_n}$，通过c_n-c_n-1的符号，求出λ的范围．

解答 （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分（3分），第2小题满分（7分），第3小题满分（8分）．
（理科）
解（1）∵对任意m、p∈N^*都有a_m+p=a_m•a_p成立，
∴令m=n，p=1，得${a_{n+1}}={a_1}•{a_n}，n∈{N^*}$．
∴数列{a_n}（n∈N^*）的递推公式是$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=\frac{1}{2}\\{a_{n+1}}={a_1}•{a_n}，n∈{N^*}.\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，数列{a_n}（n∈N^*）是首项和公比都为$\frac{1}{2}$的等比数列，于是${a_n}=\frac{1}{2^n}（n∈{N^*}）$．
由${a_n}=\frac{b_1}{2+1}-\frac{b_2}{{{2^2}+1}}+\frac{b_3}{{{2^3}+1}}-+…+{（-1）^{n+1}}\frac{b_n}{{{2^n}+1}}$（n∈N^*），得${a_{n-1}}=\frac{b_1}{2+1}-\frac{b_2}{{{2^2}+1}}+\frac{b_3}{{{2^3}+1}}-+…+{（-1）^n}\frac{{{b_{n-1}}}}{{{2^{n-1}}+1}}$（n≥2）．
故${a_n}-{a_{n-1}}={（-1）^{n+1}}\frac{b_n}{{{2^n}+1}}⇒{b_n}={（-1）^n}（\frac{1}{2^n}+1）（n≥2）$．
当n=1时，${a_1}=\frac{b_1}{2+1}⇒{b_1}=\frac{3}{2}$．
所以${b_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}，（n=1）\\{（-1）^n}（\frac{1}{2^n}+1）．（n≥2，n∈{N^*}）\end{array}\right.$；
（3）∵${c_n}={2^n}+λ{b_n}$，
∴当n≥3时，${c_n}={2^n}+{（-1）^n}（\frac{1}{2^n}+1）λ$，${c_{n-1}}={2^{n-1}}+{（-1）^{n-1}}（\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+1）λ$，
依据题意，有${c_n}-{c_{n-1}}={2^{n-1}}+{（-1）^n}λ（2+\frac{3}{2^n}）＞0$，即${（-1）^n}λ＞-\frac{{{2^{n-1}}}}{{\frac{3}{2^n}+2}}$．
1⁰当n为大于或等于4的偶数时，有$λ＞-\frac{{{2^{n-1}}}}{{\frac{3}{2^n}+2}}$恒成立，又$\frac{{{2^{n-1}}}}{{\frac{3}{2^n}+2}}$随n增大而增大，则${（{\frac{{{2^{n-1}}}}{{\frac{3}{2^n}+2}}}）_{min}}=\frac{128}{35}（n=4）$，故λ的取值范围为$λ＞-\frac{128}{35}$；
2⁰当n为大于或等于3的奇数时，有$λ＜\frac{{{2^{n-1}}}}{{\frac{3}{2^n}+2}}$恒成立，故λ的取值范围为$λ＜\frac{32}{19}$；
3⁰当n=2时，由${c_2}-{c_1}=（{2^2}+\frac{5}{4}λ）-（2+\frac{3}{2}λ）＞0$，得λ＜8．
综上可得，所求λ的取值范围是$-\frac{128}{35}＜λ＜\frac{32}{19}$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力．