Question

6．如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD与 CE不相等，AC=AD=AB=1，BC=$\sqrt{2}$，四棱锥B-ACED的体积为$\frac{1}{2}$，F为BC的中点．求：
（Ⅰ）CE的长度；
（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅲ）求证：平面BDE⊥平面BCE．

Answer 1

分析 （I）证明AB⊥平面ACED，可得AB为四棱锥B-ACED的高，利用四棱锥B-ACED的体积为$\frac{1}{2}$，即可求出CE的长度；
（Ⅱ）作BE的中点G，连接GF，GD，由三角形中位线定理，及平行四边形判定定理可得四边形GFAD为平行四边形，进而AF∥GD，再由线面平行的判定定理得到AF∥平面BDE；
（Ⅱ）由AB=AC，F为BC的中点可得AF⊥BC，结合GF⊥AF及线面垂直的判定定理可得AF⊥平面BCE进而由面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面BCE．

解答 （Ⅲ）解：四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED．
∵BC²=AC²+AB²，∴AB⊥AC．
∵平面ABC∩平面ACED=AC，
∴AB⊥平面ACED，…2分
即AB为四棱锥B-ACED的高，
∵${V_{B-ACED}}=\frac{1}{3}{S_{ACED}}•AB=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（AD+CE）×AC×AB=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+CE）×1×1=\frac{1}{2}$，
∴CE=2．…4分
（Ⅱ）证明：取BE的中点G，连接GF，GD，则GF为三角形BCE的中位线，
∴GF∥EC∥DA，$GF=\frac{1}{2}CE=DA$，
∴四边形GFAD为平行四边形，∴AF∥GD．
又GD?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．…8分
（Ⅲ）证明：∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC．
又∵GF⊥AF，BC∩GF=F，∴AF⊥平面BCE．
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE．
又GD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．…12分

点评 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面平行的判定．是中等题．