Question

18．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+2cos²（x-$\frac{π}{4}$）-1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角恒等变化求得函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），再利用正弦函数的周期性求出函数的周期．
（Ⅱ）对于函数f（x），由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值及相应的x的值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+2cos²（x-$\frac{π}{4}$）-1=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+cos（2x-$\frac{π}{2}$）
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
故函数f（x）的最小正周期为 $\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）对于函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
故当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{12}$时，函数f（x）取得最大值为2；
当 2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，即x=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值为2×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．