Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点B（0，b），过点B且与BF₂垂直的直线交x轴负半轴于点D，且2$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}D}$=$\overrightarrow{0}$．
（1）求证：△BF₁F₂是等边三角形；
（2）若过B、D、F₂三点的圆恰好与直线l：x-$\sqrt{3}$y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（3）设过（2）中椭圆C的右焦点F₂且不与坐标轴垂直的直线l与C交于P、Q两点，M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设D（x₀，0）（x₀＜0），利用$2\overrightarrow{{F_1}{F_2}}+\overrightarrow{{F_2}D}=\vec 0$得b²=3c²，求解∠BF₂F₁=60°，证明△BF₁F₂是等边三角形．
（2）求出点D的坐标，利用△BDF₂是直角三角形，得到其外接圆圆心为F₁（-c，0），半径为2c，然后求解所求椭圆C的方程．
（3）直线l过F₂且不与坐标轴垂直，设直线l的方程为：y=k（x-1），k≠0．与椭圆联立，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），结合韦达定理，求解直线QM的方向向量，求解直线QM的方程，求解直线QM与x轴交于定点（4，0）．推出结果．

解答 （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分（4分），第2小题满分（6分），第3小题满分（6分）．
解：（1）证明：设D（x₀，0）（x₀＜0），由F₂（c，0），B（0，b），故$\overrightarrow{{F_2}B}=（-c\;，\;b）$，$\overrightarrow{BD}=（{x_0}\;，\;-b）$，
因为$\overrightarrow{{F_2}B}⊥\overrightarrow{BD}$，所以$-c{x_0}-{b^2}=0$，…（1分）
${x_0}=-\frac{b^2}{c}$，故$\overrightarrow{{F_2}D}=（{-\frac{b^2}{c}-c\;，\;0}）$，…（2分）
又$\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=（2c\;，\;0）$，故由$2\overrightarrow{{F_1}{F_2}}+\overrightarrow{{F_2}D}=\vec 0$得$3c-\frac{b^2}{c}=0$，所以，b²=3c²．…（3分）
所以，$tan∠B{F_2}{F_1}=\frac{b}{c}=\sqrt{3}$，∠BF₂F₁=60°，即△BF₁F₂是等边三角形．…（4分）
（2）由（1）知，$b=\sqrt{3}c$，故a=2c，此时，点D的坐标为（-3c，0），…（1分）
又△BDF₂是直角三角形，故其外接圆圆心为F₁（-c，0），半径为2c，…（3分）
所以，$\frac{|-c-3|}{2}=2c$，c=1，$b=\sqrt{3}$，a=2，…（5分）
所求椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．    …（6分）
（3）由（2）得F₂（1，0），因为直线l过F₂且不与坐标轴垂直，
故可设直线l的方程为：y=k（x-1），k≠0．    …（1分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\;\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\;\end{array}\right.$得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，…（2分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，…（3分）
由题意，M（x₁，-y₁），故直线QM的方向向量为$\vec d=（{x_2}-{x_1}\;，\;{y_2}+{y_1}）$，
所以直线QM的方程为$\frac{{x-{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{y+{y_1}}}{{{y_2}+{y_1}}}$，…（4分）
令y=0，得$x=\frac{{{y_1}（{x_2}-{x_1}）}}{{{y_2}+{y_1}}}+{x_1}=\frac{{{y_1}{x_2}+{y_2}{x_1}}}{{{y_2}+{y_1}}}=\frac{{k（{x_1}-1）{x_2}+k（{x_2}-1）{x_1}}}{{k（{x_2}-1）+k（{x_1}-1）}}$=$\frac{{2k{x_1}{x_2}-k（{x_1}+{x_2}）}}{{k（{x_1}+{x_2}）-2k}}$=$\frac{{2{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）}}{{（{x_1}+{x_2}）-2}}$
=$\frac{{2•\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}-\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}}}{{\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}-2}}$=$\frac{-24}{-6}=4$．…（5分）
即直线QM与x轴交于定点（4，0）．
所以，存在点N（4，0），使得M、Q、N三点共线．    …（6分）
（注：若设N（x₀，0），由M、Q、N三点共线，得$|{\begin{array}{l}{x_1}&{-{y_1}}&1\\{{x_2}}&{y_2}&1\\{{x_0}}&0&1\end{array}}|=0$，
得${x_0}=\frac{{{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}$．）

点评 本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的方程的求法，三点共线，考查分析问题解决问题的能力．