Question

3．有一块铁皮零件，其形状是由边长为40cm的正方形截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE，其中AF=12cm，BF=10cm，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN，使得矩形相邻两边分别落在CD，DE上，另一顶点P落在边CB或BA边上．设DM=xcm，矩形DMPN的面积为ycm²． 
（1）试求出矩形铁皮DMPN的面积y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）试问如何截取（即x取何值时），可使得到的矩形DMPN的面积最大？

Answer 1

分析 （1）依据题意并结合图形，可知：1⁰当点P在线段CB上；2⁰当点P在线段BA上，分别求解函数的解析式．（2）利用（1）知，当0＜x≤30时，当30＜x≤40时，分别求解函数的最大值即可．

解答 （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（8分）．
解（1）依据题意并结合图形，可知：1⁰当点P在线段CB上，即0＜x≤30时，y=40x；2⁰当点P在线段BA上，即30＜x≤40时，由$\frac{PQ}{QA}=\frac{BF}{FA}$，得$QA=48-\frac{6}{5}x$．
于是，$y=DM•PM=DM•EQ=76x-\frac{6}{5}{x^2}$．
所以，$y=\left\{\begin{array}{l}40x，0＜x≤30\\ 76x-\frac{6}{5}{x^2}.30＜x≤40\end{array}\right.$定义域D=（0，40]．
（2）由（1）知，当0＜x≤30时，0＜y≤1200；
当30＜x≤40时，$y=76x-\frac{6}{5}{x^2}=-\frac{6}{5}{（x-\frac{95}{3}）^2}+\frac{3610}{3}≤\frac{3610}{3}$，当且仅当$x=\frac{95}{3}$时，等号成立．
因此，y的最大值为$\frac{3610}{3}$．
答：先在DE上截取线段$DM=\frac{95}{3}cm$，然后过点M作DE的垂线交BA于点P，再过点P作DE的平行线交DC于点N，最后沿MP与PN截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为$\frac{3610}{3}$cm²．

点评 本题考查函数的实际应用，函数的最值的求法，分段函数的解析式以及最值的求解，考查计算能力．