Question

11．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个互相垂直的单位向量，且$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$=1，则对任意的正实数t，|$\overrightarrow{c}$+t$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{t}$$\overrightarrow{b}$|的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意建立直角坐标系，取$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），从而可得$\overrightarrow{c}$=（1，1），|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{2}$；从而可得|$\overrightarrow{c}$+t$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{t}$$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}{\overrightarrow{b}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\frac{2}{t}\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=$\sqrt{2+2（t+\frac{1}{t}）+{t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}}$≥$\sqrt{2+4+2}$=2$\sqrt{2}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$=1，
建立如图所示的直角坐标系，取$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），
设$\overrightarrow{c}$=（x，y），
∴（x，y）•（1，0）=（x，y）•（0，1）=1．
∴x=y=1．
∴$\overrightarrow{c}$=（1，1），
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{2}$；
∵t＞0．
∴|$\overrightarrow{c}$+t$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{t}$$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}{\overrightarrow{b}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\frac{2}{t}\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=$\sqrt{2+2（t+\frac{1}{t}）+{t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}}$≥$\sqrt{2+4+2}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当t=1时取等号．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平面向量应用及基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．