Question

1．如图（1），矩形ABCD中，AB=2AD，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE．且在射线CE上取一点M，使EM=AB，如图（2），求证：DE⊥平面ADM．

Answer 1

分析 取AE的中点F，连接DF，BF，设AD=1，求出BD，由勾股定理可证DE⊥BE，由EM=AB且，EM∥AB，可证DE⊥MA，又由已知可得DE⊥AD，MA∩AD=A，即可证明DE⊥平面MDA．

解答 证明：如图（2），取AE的中点F，连接DF，BF，设AD=1，
∵AD=DE=1，∴DF⊥AE，由AD⊥DE，可得AE=$\sqrt{2}$，AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DF=$\sqrt{D{A}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵平面ADE⊥平面ABCE．
∴DF⊥BF，
∵AB=2，AE=$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴由勾股定理可得：∠BEF=90°，
∴BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{2}}$，
∴DB=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵DE=1，BE=$\sqrt{2}$．
∴由勾股定理可得：∠BED=90°，即DE⊥BE，
∵EM=AB且，EM∥AB，∴MA∥BE，
∴DE⊥MA，
又由已知可得DE⊥AD，MA∩AD=A，
∴DE⊥平面MDA．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直，折叠问题，考查空间想象能力，计算能力和转化思想，属于中档题．