Question

16．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为（　　）

• A． $\frac{1}{6}$a³
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{12}$a³
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{12}$a³
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$a³

Answer 1

分析 如图所示，设对角线AC∩BD=O，由OB²+OD²=BD²，可得OB⊥OD．OD⊥平面ACB，利用三棱锥D-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×OD×{S}_{△ABC}$，即可得出．

解答 解：如图所示，
设对角线AC∩BD=O，
∴OB=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
∵OB²+OD²=$（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}$×2=a²=BD²，
∴OB⊥OD．
又OD⊥AC，AC∩OB=O，
∴OD⊥平面ACB，
∴三棱锥D-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×OD×{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{1}{2}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{2}{a}^{3}}{12}$．
故选：B．

点评 本题考查了正方形的性质、线面面面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．