Question

8．已知△ABC的内角A、B、C的对边a，b，c，且满足bcos²A=a（2-sinAsinB），a+b=6．
（Ⅰ）求a、b的值
（Ⅱ）若cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由bcos²A=a（2-sinAsinB），可得sinBcos²A=sinA（2-sinAsinB），化为sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，与a+b=6联立解得a，b．
（II）由cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$，可得sinA=$\frac{1}{2}sinB$，cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$；sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，利用S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$即可得出．

解答 解：（I）∵bcos²A=a（2-sinAsinB），
∴sinBcos²A=sinA（2-sinAsinB），
∴sinBcos²A+sin²AsinB=2sinA，
∴sinB=2sinA，
由正弦定理可得：b=2a，
与a+b=6联立解得a=2，b=4．
（II）∵cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴sinA=$\frac{1}{2}sinB$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$；
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{21}}{14}×\frac{2\sqrt{7}}{7}$+$\frac{5\sqrt{7}}{14}×\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
（II）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，b=2a，c=$\sqrt{7}$，
∴4a²=a²+7-$2\sqrt{7}acosB$=a²+7-2$\sqrt{7}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
化为3a²+4a-7=0，解得a=1．
∴b=2．
∴a=1，b=2．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．