Question

20．已知点列A_n{n，a_n}、B_n{n，b_n}、C_n{n-1，0}，a₁=b₁=1，$\overrightarrow{{B}_{n}{B}_{n+1}}$=（1，2），$\overrightarrow{{A_n}{A_{n+1}}}∥\overrightarrow{{B_n}{C_n}}$
（Ⅰ）求证数列{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知点的坐标求得向量的坐标，结合$\overrightarrow{{B}_{n}{B}_{n+1}}$=（1，2），可得数列{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的等差数列求出数列{b_n}的通项公式，结合$\overrightarrow{{A_n}{A_{n+1}}}∥\overrightarrow{{B_n}{C_n}}$可得a_n+1-a_n=b_n=2n-1，然后利用累加法求得数列数列{a_n}的通项公式．

解答 （Ⅰ）证明：由B_n{n，b_n}，得B_n+1{n+1，b_n+1}，
∴$\overrightarrow{{B}_{n}{B}_{n+1}}=（1，{b}_{n+1}-{b}_{n}）$，又$\overrightarrow{{B}_{n}{B}_{n+1}}$=（1，2），
∴（1，b_n+1-b_n）=（1，2），则b_n+1-b_n=2．
∴数列{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=1+2（n-1）=2n-1，
由A_n{n，a_n}，得A_n+1{n+1，a_n+1}，
∴$\overrightarrow{{A}_{n}{A}_{n+1}}=（1，{a}_{n+1}-{a}_{n}）$，
又B_n{n，b_n}、C_n{n-1，0}，
∴$\overrightarrow{{B}_{n}{C}_{n}}=（-1，-{b}_{n}）$，
由$\overrightarrow{{A_n}{A_{n+1}}}∥\overrightarrow{{B_n}{C_n}}$，得
-b_n+a_n+1-a_n=0，
∴a_n+1-a_n=b_n=2n-1，
则a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）-1+2（n-2）-1+…+2•1-1+1
=1+3+5+…+（2n-3）+1=n²-2n+2．

点评 本题是数列与向量的综合题，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是中档题．