Question

9．设函数f（x）=2lnx-ax+a，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）当0＜x₁＜x₂时，若$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜2（$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求解导函数f′（x）=$\frac{2}{x}$-2=$\frac{2（1-x）}{x}$，运用不等式结合导数的在单调性得出关系得出f（x）=2lnx-2x+2，
在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，判断最大值为f（1）．
（2）根据$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$意义与导数有关系，得出f′（x）＜2（$\frac{1}{x}$-1）求解即可．

解答 解：函数f（x）=2lnx-ax+a，a∈R．
（1）a=2，f（x）=2lnx-2x+2，
f′（x）=$\frac{2}{x}$-2=$\frac{2（1-x）}{x}$，
f′（x）=$\frac{2（1-x）}{x}$=0，x=1，
f′（x）=$\frac{2（1-x）}{x}$＞0，0＜x＜1，
f′（x）=$\frac{2（1-x）}{x}$＜0，x＞1，
∴f（x）=2lnx-2x+2，在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，
故f（x）的最大值为f（1）=2ln1-2=2=0．
（2）∵f（x）=2lnx-ax+a，a∈R．
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$-a，
∵当0＜x₁＜x₂时，若$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜2（$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）恒成立，
∴f′（x）＜2（$\frac{1}{x}$-1），
即$\frac{2}{x}$-a＜2（$\frac{1}{x}-1$），x＞0，
求解得出：a＞2，
故a的取值范围：a＞2．

点评 本题考查了导数的概念，几何意义，运用导数判断单调性，求解最值，属于导数应用的常规题目，难度不大．