Question

14．已知，在△ABC中，∠ABC的对边分别为a、b、c，且2cos²$\frac{A}{2}$≥$\frac{b+c}{c}$，则△ABC的形状为直角三角形或钝角三角形．

Answer 1

分析 已知不等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，右边整理后，得出cosA≥$\frac{b}{c}$，利用余弦定理表示出cosA，代入不等式化简得到b²+a²≤c²，分b²+a²=c²与b²+a²＜c²两种整理判断三角形ABC形状即可．

解答 解：已知不等式变形得：cosA+1≥$\frac{b}{c}$+1，即cosA≥$\frac{b}{c}$①，
由余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
代入①得：$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$≥$\frac{b}{c}$，
整理得：b²+a²≤c²，
当b²+a²=c²时，△ABC为直角三角形；
当b²+a²＜c²，可得cosC=$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ba}$＜0，即C为钝角，此时△ABC为钝角三角形，
综上，△ABC的形状为直角三角形或钝角三角形．
故答案为：直角三角形或钝角三角形

点评 此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及余弦函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．