Question

4．在长方形ABB₁A₁中，AB=2AA₁=2，C，C₁分别是AB，A₁B₁的中点（如图一）．将此长方形沿CC₁对折，使平面ACC₁A₁⊥平面CBB₁C₁（如图二），已知D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求证：平面A₁CD⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅲ）求三棱锥C₁-A₁CD的体积．

Answer 1

分析 （I）利用正方形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理即可得出．
（Ⅱ）由AC=BC，D为AB中点，可得CD⊥AB；利用线面垂直的判定定理可得：CC₁⊥平面ABC．又可得BB₁⊥CD．可得CD⊥平面AA₁B₁B，即可证明：平面ACD⊥平面AA₁B₁B．
（Ⅲ）作DH⊥AC于H，由于 CC₁⊥平面ABC，可得DH⊥平面ACC₁A₁．利用V=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}C}•DH$即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC₁，设AC₁∩A₁C=E，连接DE，
∵AC=AA₁=1=CC₁=A₁C₁，AA₁⊥AC，
∴ACC₁A₁是正方形，
∴E是AC₁中点，又D为AB中点，
∴ED∥BC₁，
又ED?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）证明：∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∵CC₁⊥AC，CC₁⊥BC，且相交，
∴CC₁⊥平面ABC．
∵BB₁∥CC₁，
∴BB₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴BB₁⊥CD．
∴CD⊥平面AA₁B₁B，
∵CD?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面AA₁D₁B．
（Ⅲ）解：作DH⊥AC于H，由于 CC₁⊥平面ABC．
∴CC₁⊥DH，又DH⊥AC，∴DH⊥平面ACC₁A₁．
∴DH即为D到平面平面ACC₁A₁的距离．
又∵平面平面ACC₁A₁⊥平面CBB₁C₁且交线是CC₁，BC?平面CBB₁C₁，BC⊥CC₁，
∴BC⊥平面平面ACC₁A₁．∴BC⊥AC，而DH⊥AC，且BC=1，
∴DH=$\frac{1}{2}$，
V=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}C}•DH$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了正方形的性质、线面面面平行垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．