Question

14．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为正三角形，且${A_1}{B_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{A_1}A$，点A在下底面的射影是△A₁B₁C₁的中心O．
（1）求证：AA₁⊥B₁C₁；
（2）求二面角B₁-AA₁-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AO，连结A₁O并延长交B₁C₁于点D，通过线面垂直的判定定理即得结论；
（2）通过题意建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面AA₁B₁的一个法向量与平面AA₁C₁的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．

解答 （1）证明：连结AO，连结A₁O并延长交B₁C₁于点D，
根据题意，易得AO⊥B₁C₁，A₁D⊥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥平面A₁AO，∴AA₁⊥B₁C₁；
（2）解：如图，以D为原点建立坐标系D-xyz，
设A₁A=2，则${A_1}{B_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{A_1}A$=$\sqrt{3}$，
∵点O为△ABC为正三角形的中心，
∴$OD=\frac{1}{3}{A}_{1}D$=$\frac{1}{3}$A₁B₁sin60°=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$，${A}_{1}D=\frac{3}{2}$，
∴A₁O=1，AO=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}-{A}_{1}{O}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
则A=（$\frac{1}{2}$，0，$\sqrt{3}$），A₁=（$\frac{3}{2}$，0，0），B₁=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），C₁=（0，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（1，0，$-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（$-\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（$-\frac{1}{2}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\sqrt{3}$），
设平面AA₁B₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），平面AA₁C₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{-\frac{3}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-\sqrt{3}{z}_{2}=0}\\{-\frac{1}{2}{x}_{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}-\sqrt{3}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
取${x}_{1}=\sqrt{3}$，z₂=-1，得平面AA₁B₁的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，3，1），
平面AA₁C₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，3，-1），
∵$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\sqrt{3}×\sqrt{3}+3×3-1×1}{\sqrt{3+9+1}•\sqrt{3+9+1}}$=$\frac{5}{13}$，
∴二面角B₁-AA₁-C₁的平面角的余弦值为$\frac{5}{13}$．

点评 本题考查二面角，空间中直线与直线的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．