Question

9．已知数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=n²-1（n≥2，n∈N₊），数列{b_n}满足：3ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，且b₁=3．
（Ⅰ）分别求出a_n，b_n的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在数列递推式中取n=n+1得另一递推式，和原递推式作差后可得a_n=2n+1（n≥2），验证首项后得a_n=2n+1（n∈N₊），把{a_n}的通项公式代入3ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，整理即可求得：${b_n}=\frac{4n-1}{{{3^{n-1}}}}$（n∈N₊）；
（Ⅱ）直接利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答 解：（Ⅰ）由${a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_{n-1}}={n^2}-1（n≥2，n∈{N_+}）$，
于是，${a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_{n-1}}+{a_n}={（n+1）^2}-1$，
两式相减得，a_n=2n+1（n≥2），又由已知可得a₁=3，满足上式，
∴a_n=2n+1（n∈N₊），
由3ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，得：3ⁿb_n+1=（n+1）（2n+3）-n（2n+1=4n+3，
∴${b_{n+1}}=\frac{4n+3}{3^n}$，于是，当n≥2时，${b_n}=\frac{4n-1}{{{3^{n-1}}}}$，又b₁=3适合上式，
${b_n}=\frac{4n-1}{{{3^{n-1}}}}$（n∈N₊）；
（Ⅱ）由（1）知，${b_n}=\frac{4n-1}{{{3^{n-1}}}}$，
∴${T_n}=\frac{3}{1}+\frac{7}{3}+\frac{11}{3^2}+…+\frac{4n-5}{{{3^{n-2}}}}+\frac{4n-1}{{{3^{n-1}}}}$…①
得$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{3}{3}+\frac{7}{3^2}+\frac{11}{3^3}+…+\frac{4n-5}{{{3^{n-1}}}}+\frac{4n-1}{3^n}$…②
①-②得$\frac{2}{3}{T_n}=3+\frac{4}{3}+\frac{4}{3^2}+…+\frac{4}{{{3^{n-1}}}}-\frac{4n-1}{3^n}$=$3+4×\frac{{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{{3^{n-1}}}}）}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{4n-1}{3^n}=5-\frac{4n+5}{3^n}$，
综上，${T_n}=\frac{15}{2}-\frac{4n+5}{{2×{3^{n-1}}}}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的通项公式和数列的前n项和，是中档题．